Les toutes, toutes premières fois

An 370 environ

Hypatie, belle de science

Hypatie a tout pour elle : belle, intelligente, instruite, pédagogue, fille de bonne famille et pourtant sa fin sera tragique. Mathématicienne et philosophe, première « femme » scientifique dont l’Histoire a retenu le nom et le destin, elle sera aussi célèbre parmi les anticléricaux et les féministes. Voyons pourquoi.

Tout a commencé à Alexandrie au IIIème siècle avant notre ère. Ptolémée Ier (305 av. J.-C. – 283 av. J.-C.) qui a succédé en Egypte à Alexandre le Grand, le fondateur d’Alexandrie, a de grandes ambitions pour cette ville dont il a fait sa capitale. C’est lui qui lancera la construction du fameux phare d’Alexandrie, la 7ème et dernière merveille du monde. Ce phare monumental permettra d’observer les bateaux à 50 km à la ronde. Une prouesse pour l’époque.

Parmi les bâtiments prestigieux comme le temple de Poséidon, figure un grand musée : le Mouseîon. C’est le temple des savants car Ptolémée veut que sa capitale puisse rivaliser avec Athènes dans les domaines culturels et scientifiques. Ainsi Alexandrie deviendra la ville du savoir et des délices !

La bibliothèque magistrale d’Alexandrie 

Là, les savants seront chouchouter (1). Outre le gîte et le couvert, Ptolémée leur promet de construire une bibliothèque magistrale, la célèbre bibliothèque d’Alexandrie qui ne fonctionnera qu’à partir du règne de son successeur Ptolémée II. Pour l’alimenter, le fondateur a une idée imparable. Chaque navire faisant escale à Alexandrie devra fournir les livres dont il dispose.

Une « armée » de copistes se charge de les retranscrire avant de remettre cette copie à leur propriétaire ; l’original est quant à lui archivé dans la Bibliothèque d’Alexandrie.
Grâce à ce stratagème, la bibliothèque disposera jusqu’à 700 000 ouvrages sous forme de rouleaux et de parchemins. De quoi alimenter la curiosité des savants durant 7 siècles et donner du « boulot » à une noria de scribes, traducteurs, éditeurs, professeurs …

Une savante hors pair pour ses compatriotes

A la fin de cette période bénie pour les scientifiques et philosophes de l’époque, apparait notre héroïne, Hypatie dont la date de naissance reste imprécise : entre 350 et 370 de notre ère. Elle est la fille de Théon, mathématicien illustre, qui sera le dernier directeur du Mouseîon.

On raconte (2) que les gens accouraient pour écouter Hypatie dont les connaissances surpassaient la plupart des savants de l’époque, notamment en mathématiques. Lors de ses voyages, elle prend modèle à Athènes sur une autre femme, Asclépigénie, passée maître en philosophie et en sciences néoplatoniciennes.

Cependant, tout en enseignant la philosophie dans son école de philosophie qu’elle dirigera, Hypatie sera la tout première -et sans doute la seule- femme de l’Antiquité à maitriser autant les sciences exactes (3).

Une pionnière de l’invention

Son talent ne s’arrête pas là. Elle fait preuve aussi d’un esprit d’invention hors du commun. On lui doit notamment l’invention de l’hydromètre ainsi qu’un modèle novateur d’astrolabe facilitant les mesures astronomiques et bien d’autres choses (4). Sans aucun doute, Hypatie sort du lot. Autant par sa beauté, que par l’étendue de ses connaissances, son inventivité et son talent. Une sorte de Léonard de Vinci féminin de l’Antiquité.

Mais Hypatie doit faire face aux préjugés et aux croyances religieuses qui se heurtent aux postulats scientifiques qu’elle défend. Les Chrétiens, dont l’influence s’étend chaque jour, ne voient pas la science d’un bon œil. Pour eux, chercher à comprendre l’univers et son fonctionnement, c’est vouloir rivaliser avec le Créateur ou, pis, devenir le complice du Malin.

Hypatie, la beauté du Diable ? 

Pour ses détracteurs, Hypatie va ainsi devenir une ennemie de la foi et sa beauté un signe du péché qui l’habite ; un comble pour elle qui restera vierge jusqu’à sa mort. Et cette mort sera tragique.

En mars 415, les Chrétiens, exacerbés par l’évêque Cyrille en rivalité avec Oreste, le préfet Romain d’Alexandrie, ami d’Hypatie, vont la pourchasser en pleine rue, la violenter, la déshabiller et peut-être même la violer. Son corps est démembré puis brûlé.

Hypatie aura marqué les esprits autant par son savoir et son désir de découvertes que par sa fin tragique qui en fait une icône pour tous les pourfendeurs de l’intolérance.

La toute première icône femme de l’Histoire.

Publié le 5 février 2018

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 Les signes qui comptent !

Les mathématiques n’ont pas toujours été associés à une forêt de symboles pour certains familiers (+, – ,x) et d’autres plus ou moins ésotériques pour un profane. Jusqu’à la Renaissance, ces symboles n’existaient pas. Petit panorama de leur entrée en scène (1):

• Vers 1460 : l’Allemand Johannes Widmann est le premier à employer les signes + et – ;
• Début du XVIème siècle, le Vénitien Tartaglia est l’un des premiers à utiliser les parenthèses ( ) ;
• En 1557, pour la toute fois est utilisé le signe = pour désigner l’égalité par l’Anglais Robert Recorde ;
• 1608, pour la première fois, la virgule est utilisée pour séparer la partie entière de la partie décimale ; cela grâce au néerlandais Rudolph Snellius ;
• 1621, les signes <> sont utilisés pour la première fois par l’Anglais Thomas Harriot ;
• 1631, William Oughtred emploie le signe x pour la multiplication pour la 1ère fois ;
• Il faudra attendre 1659 pour que l’Allemand Joyann Rann utilise le symbole de la division ;
• 1525, vient le tour de la racine carrée, grâce à un autre allemand, Christoff Rudoff, dont le symbole définitif sera proposé par le Français René Descartes, avec une barre horizontale en 1647.

Beaucoup d’autres signes verront le jour, certains de manière éphémères et d’autres mettront du temps à être adoptés comme les signes + et – qui devront attendre un siècle avant d’être utilisés communément par les mathématiciens, la plupart d’entre eux leur préférant la désignation en lettre : P et M, pour plus et minus.

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1 – « Le grand roman des maths » Mickaël Launay – Flammarion – 2016
2 – Socrate le scolastique
3 –  D’autres femmes comme Autocharidas, Théano ou Habrotélia sont connues mais sans informations précises sur elle comme l’évoque Mickaël Launay dans son ouvrage cité ci-dessus. 

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A voir et à lire pour aller plus loin :

1883

On n’en a pas fini avec les infinis

Si l’infini peut paraître long, surtout sur la fin, pour paraphraser Woody Allen évoquant l’éternité, c’est, avant tout, sa compréhension qui fut longue à germer dans les esprits.

Une vision subversive pour l’époque

En réalité, cette notion d’infini a trouvé difficilement sa place, du moins d’un point de vue mathématique. Longtemps, elle est restée le terrain de jeu de bons nombres d’adeptes des paradoxes. Il faudra en effet attendre Georg Cantor, dans les années 1880, pour disposer d’une réponse mathématique opérationnelle et  rationnelle à un concept qui, jusqu’alors, relevait du divin ou de la philosophie.

On a du mal à imaginer aujourd’hui à quel point cette approche nouvelle de l’infini pouvait paraître aux yeux mêmes des plus grands mathématiciens de l’époque comme une  folle exploration. C’était même pour certains, carrément une hérésie . Poincaré,  l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps, écrira « Les idées de Cantor sont une grave maladie qui infectent les mathématiques » (1).

Un infini, hors de portée

Jusqu’ici, à la question « qu’y a-t-il au-delà des limites (ou après) », on relevait une infinité de réponses.  Chacune de ces questions correspondant à une vision sans véritable fondement mais dotée d’un point commun : elles considéraient l’infini comme quelque chose d’inatteignable voire d’inimaginable. Même si mathématiquement parlant on admettait l’existence de grandeurs en perpétuel accroissement, sans véritable limite. Un infini potentiel mais hors de portée rationnelle.

Quantifier l’inquantifiable

Cantor, lui va quantifier « l’inquantifiable » grâce, notamment, à ses nombres transfinis. Ces nombres vont lui permettre de quantifier l’infini et de réaliser des calculs dessus comme la comparaison entre différents ensembles d’infinis. Pour la toute première fois l’infini endosse l’habit du monde réel et délaisse celui du sacré. Désormais, il devient à la portée de l’esprit humain car calculable.

Aujourd’hui, cela semble aller de soi. Toutefois,  la révélation d’un infini accessible aux règles rationnelles des mathématiques représente un saut conceptuel presque aussi important que la découverte du zéro. Cette comparaison avec le zéro n’est pas anodine car tous deux ont été longtemps niés, considérés comme inappropriés au mode réel ; tous deux sont également liés car en divisant le fini par zéro, on obtient l’infini. Tout est bien qui finit bien !

Sans aucun doute, l’infini recèle une part de mystères qui a dérangé longtemps bons nombres d’esprits surtout les plus cartésiens. Au point que Descartes ne pouvait admettre que l’esprit humain fût capable de concevoir autre chose que des choses finies.

L’éviction de l’infini…

Bien avant lui, les grecs de l’Antiquité avaient contourné le problème de l’infini par un concept négatif baptisé l’éviction : le non fini, dans le sens incomplet ou inachevé. D’ailleurs, Aristote évoque un infini potentiel au sens utopique et inaccessible au commun des mortels. Auparavant, Zénon d’Elée soumet les premiers paradoxes de l’infini dont la célèbre flèche qui n’atteint jamais sa cible car la distance totale est fractionnée de manière infinie (la moitié, puis le quart, le 8ème…).

Dans l’infini, il y a du grand et du petit !

Le concept positif arrivera sur le tard, au Moyen Age. Il repose sur une logique métaphysique où l’accès à l’infini est une prérogative de Dieu et de lui seul. Dans le même esprit, Blaise Pascal (1623-1662) écrira, à propos de l’infiniment grand et de l’infiniment petit : « …ces extrémités se touchent et se réunissent à force de s’être éloignées et retrouvent en Dieu et en Dieu seulement ». La messe est dite.

Hérité d’un symbole romain désignant 1000, le symbole de l’infini sera introduit pour la première fois par John Wallis en 1665. Cantor, lui, utilisera un autre symbole qui se lit « aleph ».  Il va le décliner selon des catégories (infini des nombres entiers, infini des points…). Autrement dit pour Cantor, il existe plusieurs infinis (voir encarté), pouvant être comparé entre eux grâce aux nombres transfinis. Cette diversité de l’infini ne plaira pas car elle remet en question l’infini unique et divin.

L’infini : une histoire à dormir debout

Alors, en définitive, l’infini est–il une notion à dormir debout ? Je vous laisse juge avec ce paradoxe de l’hôtel infini que proposa le célébre mathématicien  David Hilbert (2), au début du siècle dernier :
Observons un hôtel qui comprend une infinité de chambres. Toutes les chambres sont occupées. Arrive une infinité de nouveaux clients. Comment faire pour tous les loger puisque l’hôtel est déjà complet ?
Simple : il suffit de déplacer les anciens occupants en leur donnant que les chambres paires. Ainsi le client de la chambre 1 passe dans la chambre 2, celui de la chambre 2 passe dans la chambre 4, celui de la chambre 3 dans la chambre 6 et ainsi de suite (souvenons-nous que le nombre de chambre est illimité).
Quant aux nouveaux clients, on leur attribue les chambres impaires qui sont en nombre illimité et qui viennent d’être libérées.

Reste une question en suspens, quel fut le numéro de la chambre de Georg Cantor lorsqu’il sombra dans la folie ?

Pour finir -si j’ose dire-, laissons conclure Hilbert : « Personne ne nous chassera du paradis que Cantor a créé pour nous »(3).

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 Les trois « types » d’infini définis par Georg Cantor

• L’infini potentiel ou infini dynamique : il désigne une progression infinie qui n’a jamais de fin. Les nombres entiers en sont un exemple : il est toujours possible d’un ajouter un à la liste;
• L’infini actuel :  il s’agit d’un ensemble dont tous les éléments existent simultanément; cela forme une « totalité achevée » (3). C’est à propos de cet infini que Cantor inventera le terme de « transfini »;
• L’infini absolu : il s’agit de l’ensemble infini de tous les ensembles; cet infini se situe au-delà de tout. C’est donc le concept le plus sensible qui touche à la métaphysique. « La pensée de Dieu », selon Cantor.

 Les surprises de l’infini

• Il ne faut pas se fier à notre impression :  les nombres entiers (1,2,3,4,5, …) ne sont pas plus nombreux que les nombres pairs (2,4,6,8…), alors qu’on les imaginent deux fois plus nombreux. Il n’en est rien ;
• Les nombres réels, c’est à dire les nombres entiers, les nombres rationnels (1/2, 2/4…) et irrationels (racines carrées…), sont beaucoup plus nombreux que les nombres entiers naturels;
• Il existe autant de points sur un segment de droite d’1 cm que sur une droite de plusieurs millions de km; plus surprenant encore, il y a autant de points dans une petite bille que dans une sphère de la taille de l’univers.
• Hilbert, encore lui, affirmera en juin 1925 (3), lors d’un congrès organisé par la Société mathématique de Westphalie : « Notre principal résultat est que l’infini n’existe nulle part dans la réalité. Il n’existe ni dans la nature ni comme base de la pensée rationnelle (4) ». Cela sous-tend l’idée qu’aucune réalité physique dans l’Univers n’est éternel.

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1- http://en.wikipedia.org.wiki/georg_cantor
2 – David Hilbert, l’une des célébrités de l’école de Göttinguen, l’école de mathématiques la plus renommée au monde au début du XX ème siècle, où passeront Poincaré, Einstien, Planck, Heinsenberg, Born et bien d’autres.
3- La pensée de Dieu – Igor et Grichka Bogdanov – Ed. Grasset – 2012
4- On the Infinite, David Hilbert, in mathemathische annalen, Vol 95 – 1926 

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 A visionner pour mieux comprendre (en anglais avec sous-titres automatiques en français) :

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A voir et à lire pour aller plus loin :

• Une Brève Histoire de l’Infini de John Barrow. Vivante et passionnante, voici la première histoire de l infini à travers les âges et à travers les divers domaines de la pensée et de la science.
• et une illustration du concept d’infini, attribuée à Albert Einstein : « Deux choses sont infinies : l’Univers et la bêtise humaine. Mais en ce qui concerne l’Univers, je n’en ai pas encore acquis la certitude absolue. »
• La pensée de Dieu de Igor et Grichka Bogdanov – Edition Grasset

- 22 000 ans (environ)

Premiers en math

Tout a probablement commencé il y a 25 000 ans (entre 22 000 et 25 000 ans avant notre ère). Nous sommes en Afrique sur les bords d’un lac, le lac Edouard de l’actuel République démocratique du Congo.

A l’aide d’un objet tranchant, deux hommes agenouillés entaillent chacun un os de la taille d’une main à peine. Que signifient ces stries ? Le nombre d’animaux tués au cours d’une période donnée, un calendrier lunaire, une règle à calcul ?

On l’ignore mais il y à fort à parier qu’il s’agit des toutes premières pratiques mathématiques de l’humanité. Cette scène imaginaire s’appuie sur une découverte qui remonte aux années 50 : les os d’Ishingo.

Un os à compter

Que nos chères têtes blondes que les maths font tant souffrir se rassurent ; d’autres bien avant eux seraient donc tombés sur un os. Un os au pouvoir bien étrange : faciliter le calcul en formalisant des nombres.

Grâce à cela, les pécheurs du lac Edouard font-ils partie des premiers « matheux » de l’histoire de l’humanité ?

Nombres premiers ou premiers des nombres

Les os d’Ishingo sont au nombre de 2. L’un provient d’un lion, l’autre est d’origine humaine. Ils mesurent respectivement 10 et 14 cm. Ils comportent des encochent transversales regroupées en série, selon des règles qui semblent mathématiques (10+1, 20+1, 20-1, 10-1, etc..).

Science Museum of Brussels

Si les os d’Ishingo convoitent le titre d’objets arithmétiques les plus anciens, à quoi, diable, pouvaient-ils servir ? Les hypothèses sont nombreuses et évoluent avec le temps. Calendrier lunaire, dans les années 70 ou tout premier instrument de calcul, thèse datant d’une dizaine d’année. On a même identifié sur l’un des os une suite des nombres premiers compris entre 10 et 20.

L’hypothèse de règle à calcul et de table de conversion utilisant conjointement les bases 10 et 12 tient aujourd’hui la corde. D’autant que les systèmes de calcul en base 12 sont encore utilisés dans certaines régions d’Afrique. Bref, les experts ont encore un os à ronger avant d’en tirer des conclusions fiables.

Le premier calcul digital

En remontant quelques milliers d’années auparavant, on pourrait dire, d’une manière grossièrement imagée que l’os à calcul était alors entouré de chair. C’était le doigt. Oui, il y a 29 000 ans (27 000 avant notre ère), l’homme du paléolithique « calculait » probablement déjà sur ses doigts.

Cette théorie n’est pas faite au doigt mouillé, si l’on peut dire, mais relève d’une étude très sérieuse. Celle-ci se fonde sur l’analyse combinatoire de 49 mains représentées dans la grotte Cosquer[1]. Bien que controversées, cette étude concluent, qu’au regard du faible nombre de combinaisons de doigts utilisés sur les fresques (5 sur 32 possibles), il peut s’agir d’une méthode de calcul.

Quoi qu’il en soit, beaucoup de spécialistes comme Georges Ifrah[2] estime que la main, avec ses doigts, est la toute première machine à calculer.

La bosse des maths

Les os d’Ishango témoignent au moins d’une chose : la capacité cognitive des hommes de l’époque était très élevée. Mieux, elle l’était déjà, il y a près de100 000 ans. C’est ce qu’indiquent les récentes découvertes [3] qui mettent en scène des objets de parure façonnés sur des coquillages. Ils prouvent là encore la capacité de manier des symboles. Équipés d’un cerveau, doté de la bosse des maths, nos ancêtres, les premiers homo sapiens, calculaient probablement d’une manière intuitive, sans se poser de problème, comme le célèbre M. Jourdain dans une discipline plus littéraire.

Le calcul assisté

S’il y a bien une aventure humaine collective, c’est celle de l’invention des nombres et des mathématiques et, ensuite de sa boite à outils. Comme on vient de le voir, le maniement des symboles et des chiffres est probablement intrinsèque à la nature humaine. Ce qui explique son caractère intuitif.

Mais le calcul mental a dû trouver rapidement ses limites d’où le recours à des moyens pour faciliter sa mémorisation ou son traitement. Les doigts, les os, les tablettes, les calculettes….

C’est justement avec les tablettes que commence officiellement l’histoire des mathématiques. On les appelle les tablettes d’Uruk. Elles proviennent de Mésopotamie et remontent au quatrième millénaire avant notre ère Sur ces tablettes d’argile retrouvées près de Bagdad sont consignés les tout premiers registres de comptes de l’histoire. Ces premières pratiques comptables notifiaient des données utilitaires (sacs de blé, têtes de bétail…). Elles signent les premières utilisations de nombres et ceci dans un but commercial.

Tout comptes faits

Il apparaît nécessaire de dissocier la pratique intuitive et ancestrale des mathématiques, d’une utilisation instrumentalisée en vue de quantifier et d’ordonner pour un objectif précis.

Et si le sens des nombres remonte donc à la nuit des temps, c’est que cette disposition serait encodée dans notre cerveau (et dans celui des animaux), indépendamment de toute forme d’apprentissage.

Reste à résoudre un autre problème : les mathématiques sont-elles une création de notre esprit ou bien ont-elles une existence indépendante, voire, l’essence du monde est-elle de nature mathématique ?
Cette fois, nous quittons la rive abrupte des mathématiques pour atteindre celle embrumée de la métaphysique. E là, comme l’évoquait le philosophe et écrivain Robert Pirsig [4], c’est comme si nous étions dans un restaurant qui propose un menu de 30 000 pages et rien à manger. Heureusement, il nous reste un os à ronger !

Principales étapes à retenir

• – 22 000 ans (avant notre ère) : entailles sur les os ayant probablement un caractère « mathématique » ;
• – 7 000 ans : premières tables à calcul, les « Abaques » en Mésopotamie ;
• – 6 000 ans : petits jetons d’argile servant à calculer ;
• - 3 350 : tablettes d’Uruk, premiers registres de calculs écrits ;
• - 3000 : L’Egypte développe une numération sous forme de hiéroglyphe ;
• - 2700 : Apparition des chiffres cunéiformes sumériens ;
• – 1300 : la Chine développe son système de numération ;
• Entre IVe et Ve siècle : numération de position indienne ;
• Entre le Ve et IXe siècle : Numération de position maya ;
• XII ème siècle : invention du boulier en Chine ;
• Entre le XIIe et XVe siècle : Les chiffres arabes se stabilisent ;
• 1617 : les bâtons de Neper, bâtons mobiles facilitant  la multiplication ;
• 1620 : perfectionnement du système par Gunter qui en fait la première règle à calcul ;
• Vers 1650 : la Pascaline offre un embryon de programmation de règles opératoires ;
• 1694 : Leibniz expose la première calculatrice capable de réaliser toutes les opérations arithmétiques élémentaires ;
• 1820 : apparition des machines à calculer « à la portée de tous » ;
• 1880 : machine à calculer numérique fait son apparition dans l’administration américaine ;
• 1945 : L’ENIAC, première machine à calculer conçue pour calculer les trajectoires de tir ;
• 1946 : début des travaux du premier ordinateur doté d’une mémoire interne, le Manchester Mark 1 ;
• 1972 : mise au point de la première calculatrice de poche ;
• 1976 : commercialisation du premier supercalculateur, le Cray 1 ;

Mis à jour le 29 septembre 2009

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1 – Théorie publiée en 2006 par André Rouillon dans la revue Anthropology.
2- Histoire universelle des chiffres .
3 – Coquillages percés exhumés en Afrique du sud (-75 000 ans) et d’autres encore plus anciens provenant d’Algérie (-90 000 ans) ou d’Israël (100 000 ans), témoignant d’une capacité d’abstraction et de maniement de symboles.
4 – Robert Pirsig a publié en 1974 le célèbre Traité du zen et de l’entretien des motocyclettes.

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A consulter pour mieux comprendre :

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A voir ou à lire :

• L’os d’Ishango, appelé aussi bâton d’ Ishango, sur Wikipédia
• Le bâton d’Ishango au Muséum des Sciences naturelles de Bruxelles
  
• L’histoire des mathématiques : les mathématiques, souvent rébarbatives pour les non-initiés, sont enfin réhabilitées avec passion et talent par Richard Mankiewicz.
• Les os incisés d’Ishango font naître la numération en Afrique : un article publié par le journal Le Monde en 2007 (au format PDF)