jeudi, 29 juin 2017

Les toutes, toutes premières fois

Comment tout (ou presque) a commencé !

Les tout premiers pas du zéro

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Posté par fabrice
 

+ 400 ans environ

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Le meilleur des nombres

« Le zéro, ce rien qui peut tout », pour reprendre l’expression de Denis Guedj[1]. Le zéro, c’est le plus mystérieux des nombres, il a été longtemps considéré comme un sortilège, voire renié, comme l’a fait Aristote.

En vérité, la première fois que le zéro fut employé remonte aux Babyloniens, encore eux, il y a 5000 ans ! Les scribes de l’époque inventèrent un signe de séparation dans l’écriture des nombres, un double chevron incliné. Ce fut la première forme de zéro : un chiffre servant de marquage d’une position vide, dans leur système de numération.

La deuxième « invention » du zéro, on la doit aux astronomes mayas, durant le 1er millénaire de notre ère, ce qui peut paraître peu précis. Là encore, il s’agit d’un signe séparateur pour écrire les nombres sans ambiguïté. Le zéro des mayas, sorte d’ovale horizontal qui se rapproche de notre représentation, endossait plusieurs représentations graphiques, les glyphes qui, tous, repré-sentaient des coquilles ou des coquillages.

Mais, la véritable toute première fois que le zéro entre en scène, avec l’ensemble de ses trois fonctions (le zéro opérateur, le zéro chiffre et enfin le zéro nombre), c’est grâce à un mathématicien indien, Aryabhata. Nous sommes au Vème siècle de notre ère. Une ère nouvelle s’ouvre à nous à condition d’être patient. Car, il faudra attendre l’an 825 pour que cette innovation se propage grâce au traité sur les nombres indiens rédigé par un mathématicien arabe (Al-Khwarezmi).

Avec ce zéro, versus indien, le statut du nombre change radicalement. On passe de « il n’y a rien » à « il y a rien », autrement dit, « il n’y a pas de quelque chose » à « il y a un zéro qui a une valeur nulle ». Cela change tout.

La première représentation de ce zéro indien est un petit cercle, sunya, le vide. Mais si le zéro indien a signifié le vide, l’absence, il décrit également l’espace, le firmament, la voûte céleste…

Ce zéro contient donc à la fois le vide et l’infini, ce que traduit d’ailleurs sa racine arabe : Sifr. Ironie de l’histoire, c’est le petit dernier des nombres qui fournira son nom à toute la lignée : les chiffres.

Le zéro n’a probablement pas livré tous ses secrets, comme l’ont pressenti les moines de l’abbaye de Salem, en inscrivant dans un codex, à la fin du XIème siècle : « chaque nombre jusqu’à l’infini a jailli de 1 et, par conséquent, de 0. En ceci réside un profond mystère ».

Et que serait advenu de James Bond sans le zéro !

Et que serait advenu de James Bond sans le zéro !


1 – Professeur de l’histoire des sciences à Paris VIII où il a enseigné les mathématiques et le cinéma. Il est également écrivain et cinéaste.


A voir et à lire pour aller plus loin :

  • Zéro ! Zéro de conduite, tolérance zéro, reprendre à zéro… Le zéro signifie à la fois l’absence et le vide. Mal aimé, il a su prendre sa revanche… Une émission de Canal Académie, première radio académique francophone sur internet.
  • Zéro, la biographie d’une idée dangereuse. Charles Seife raconte avec clarté l’histoire extraordinairement mouvementée de ce concept, qui est aujourd’hui une des clefs de la physique quantique, de la compréhension des trous noirs et de la naissance de l’univers.
  • Zéro : Ou Les cinq vies d’Aémer, de Denis Guedj. De la lointaine Uruk à la merveilleuse Babylone, de la légendaire Ur à la riche Bagdad, les villes des vallées du Tigre et de l’Euphrate sont le berceau de la civilisation. Là, éleveurs et marchands ont inventé l’écriture et le calcul, affinant siècle après siècle la science des mathématiques jusqu’à imaginer un nombre qui n’en est pas un : le zéro.

La toute première fois où l’on dépasse les bornes des limites

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Posté par fabrice
 


1883

On n’en a pas fini avec les infinis

 

 Si l’infini peut paraître long, surtout sur la fin, pour paraphraser Woody Allen évoquant l’éternité, c’est, avant tout, sa compréhension qui fut longue à germer dans les esprits.

Georg Cantor

Georg Cantor

Une vision subversive pour l’époque

En réalité, cette notion d’infini a trouvé difficilement sa place, du moins d’un point de vue mathématique. Longtemps, elle est restée le terrain de jeu de bons nombres d’adeptes des paradoxes. Il faudra en effet attendre Georg Cantor, dans les années 1880, pour disposer d’une réponse mathématique opérationnelle et  rationnelle à un concept qui, jusqu’alors, relevait du divin ou de la philosophie.

On a du mal à imaginer aujourd’hui à quel point cette approche nouvelle de l’infini pouvait paraître aux yeux mêmes des plus grands mathématiciens de l’époque comme une  folle exploration. C’était même pour certains, carrément une hérésie . Poincaré,  l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps, écrira « Les idées de Cantor sont une grave maladie qui infectent les mathématiques » (1).  

Un infini, hors de portée

« Toute grande passion débouche sur l’Infini » Michel Houellebecq

Jusqu’ici, à la question « qu’y a-t-il au-delà des limites (ou après) », on relevait une infinité de réponses.  Chacune de ces questions correspondant à une vision sans véritable fondement mais dotée d’un point commun : elles considéraient l’infini comme quelque chose d’inatteignable voire d’inimaginable. Même si mathématiquement parlant on admettait l’existence de grandeurs en perpétuel accroissement, sans véritable limite. Un infini potentiel mais hors de portée rationnelle.

Quantifier l’inquantifiable

Cantor, lui va quantifier « l’inquantifiable » grâce, notamment, à ses nombres transfinis. Ces nombres vont lui permettre de quantifier l’infini et de réaliser des calculs dessus comme la comparaison entre différents ensembles d’infinis. Pour la toute première fois l’infini endosse l’habit du monde réel et délaisse celui du sacré. Désormais, il devient à la portée de l’esprit humain car calculable.

Aujourd’hui, cela semble aller de soi. Toutefois,  la révélation d’un infini accessible aux règles rationnelles des mathématiques représente un saut conceptuel presque aussi important que la découverte du zéro. Cette comparaison avec le zéro n’est pas anodine car tous deux ont été longtemps niés, considérés comme inappropriés au mode réel ; tous deux sont également liés car en divisant le fini par zéro, on obtient l’infini. Tout est bien qui finit bien !

Sans aucun doute, l’infini recèle une part de mystères qui a dérangé longtemps bons nombres d’esprits surtout les plus cartésiens. Au point que Descartes ne pouvait admettre que l’esprit humain fût capable de concevoir autre chose que des choses finies.

L’éviction de l’infini…

Bien avant lui, les grecs de l’Antiquité avaient contourné le problème de l’infini par un concept négatif baptisé l’éviction : le non fini, dans le sens incomplet ou inachevé. D’ailleurs, Aristote évoque un infini potentiel au sens utopique et inaccessible au commun des mortels. Auparavant, Zénon d’Elée soumet les premiers paradoxes de l’infini dont la célèbre flèche qui n’atteint jamais sa cible car la distance totale est fractionnée de manière infinie (la moitié, puis le quart, le 8ème…).

Dans l’infini, il y a du grand et du petit !

Le concept positif arrivera sur le tard, au Moyen Age. Il repose sur une logique métaphysique où l’accès à l’infini est une prérogative de Dieu et de lui seul. Dans le même esprit, Blaise Pascal (1623-1662) écrira, à propos de l’infiniment grand et de l’infiniment petit : « …ces extrémités se touchent et se réunissent à force de s’être éloignées et retrouvent en Dieu et en Dieu seulement ». La messe est dite.

Hérité d’un symbole romain désignant 1000, le symbole de l’infini sera introduit pour la première fois par John Wallis en 1665. Cantor, lui, utilisera un autre symbole qui se lit « aleph ».  Il va le décliner selon des catégories (infini des nombres entiers, infini des points…). Autrement dit pour Cantor, il existe plusieurs infinis (voir encarté), pouvant être comparé entre eux grâce aux nombres transfinis. Cette diversité de l’infini ne plaira pas car elle remet en question l’infini unique et divin.

L’infini : une histoire à dormir debout

Alors, en définitive, l’infini est–il une notion à dormir debout ? Je vous laisse juge avec ce paradoxe de l’hôtel infini que proposa le célébre mathématicien  David Hilbert (2), au début du siècle dernier :
Observons un hôtel qui comprend une infinité de chambres. Toutes les chambres sont occupées. Arrive une infinité de nouveaux clients. Comment faire pour tous les loger puisque l’hôtel est déjà complet ?
Simple : il suffit de déplacer les anciens occupants en leur donnant que les chambres paires. Ainsi le client de la chambre 1 passe dans la chambre 2, celui de la chambre 2 passe dans la chambre 4, celui de la chambre 3 dans la chambre 6 et ainsi de suite (souvenons-nous que le nombre de chambre est illimité).
Quant aux nouveaux clients, on leur attribue les chambres impaires qui sont en nombre illimité et qui viennent d’être libérées.

Reste une question en suspens, quel fut le numéro de la chambre de Georg Cantor lorsqu’il sombra dans la folie ?

Pour finir -si j’ose dire-, laissons conclure Hilbert : « Personne ne nous chassera du paradis que Cantor a créé pour nous »(3).


 Les trois « types » d’infini définis par Georg Cantor

  • L’infini potentiel ou infini dynamique : il désigne une progression infinie qui n’a jamais de fin. Les nombres entiers en sont un exemple : il est toujours possible d’un ajouter un à la liste;
  • L’infini actuel :  il s’agit d’un ensemble dont tous les éléments existent simultanément; cela forme une « totalité achevée » (3). C’est à propos de cet infini que Cantor inventera le terme de « transfini »;
  • L’infini absolu : il s’agit de l’ensemble infini de tous les ensembles; cet infini se situe au-delà de tout. C’est donc le concept le plus sensible qui touche à la métaphysique. « La pensée de Dieu », selon Cantor.

 Les surprises de l’infini

  • Il ne faut pas se fier à notre impression :  les nombres entiers (1,2,3,4,5, …) ne sont pas plus nombreux que les nombres pairs (2,4,6,8…), alors qu’on les imaginent deux fois plus nombreux. Il n’en est rien ;
  • Les nombres réels, c’est à dire les nombres entiers, les nombres rationnels (1/2, 2/4…) et irrationels (racines carrées…), sont beaucoup plus nombreux que les nombres entiers naturels;
  • Il existe autant de points sur un segment de droite d’1 cm que sur une droite de plusieurs millions de km; plus surprenant encore, il y a autant de points dans une petite bille que dans une sphère de la taille de l’univers.
  • Hilbert, encore lui, affirmera en juin 1925 (3), lors d’un congrès organisé par la Société mathématique de Westphalie : « Notre principal résultat est que l’infini n’existe nulle part dans la réalité. Il n’existe ni dans la nature ni comme base de la pensée rationnelle (4) ». Cela sous-tend l’idée qu’aucune réalité physique dans l’Univers n’est éternel.  

1- http://en.wikipedia.org.wiki/georg_cantor
2 – David Hilbert, l’une des célébrités de l’école de Göttinguen, l’école de mathématiques la plus renommée au monde au début du XX ème siècle, où passeront Poincaré, Einstien, Planck, Heinsenberg, Born et bien d’autres.
3- La pensée de Dieu – Igor et Grichka Bogdanov – Ed. Grasset – 2012
4- On the Infinite, David Hilbert, in mathemathische annalen, Vol 95 – 1926 


 A visionner pour mieux comprendre (en anglais avec sous-titres automatiques en français) :


A voir et à lire pour aller plus loin :

  • Une Brève Histoire de l’Infini de John Barrow. Vivante et passionnante, voici la première histoire de l infini à travers les âges et à travers les divers domaines de la pensée et de la science.
  • et une illustration du concept d’infini, attribuée à Albert Einstein : « Deux choses sont infinies : l’Univers et la bêtise humaine. Mais en ce qui concerne l’Univers, je n’en ai pas encore acquis la certitude absolue. »
  • La pensée de Dieu de Igor et Grichka Bogdanov – Edition Grasset

Les tout premiers calculs

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Posté par fabrice
 

- 22 000 ans (environ)

Premiers en math

Tout a probablement commencé il y a 25 000 ans (entre 22 000 et 25 000 ans avant notre ère). Nous sommes en Afrique sur les bords d’un lac, le lac Edouard de l’actuel République démocratique du Congo.

A l’aide d’un objet tranchant, deux hommes agenouillés entaillent chacun un os de la taille d’une main à peine. Que signifient ces stries ? Le nombre d’animaux tués au cours d’une période donnée, un calendrier lunaire, une règle à calcul ?

On l’ignore mais il y à fort à parier qu’il s’agit des toutes premières pratiques mathématiques de l’humanité. Cette scène imaginaire s’appuie sur une découverte qui remonte aux années 50 : les os d’Ishingo.

Un os à compter

Que nos chères têtes blondes que les maths font tant souffrir se rassurent ; d’autres bien avant eux seraient donc tombés sur un os. Un os au pouvoir bien étrange : faciliter le calcul en formalisant des nombres.

Grâce à cela, les pécheurs du lac Edouard font-ils partie des premiers « matheux » de l’histoire de l’humanité ?

Nombres premiers ou premiers des nombres

Les os d’Ishingo sont au nombre de 2. L’un provient d’un lion, l’autre est d’origine humaine. Ils mesurent respectivement 10 et 14 cm. Ils comportent des encochent transversales regroupées en série, selon des règles qui semblent mathématiques (10+1, 20+1, 20-1, 10-1, etc..).

Science Museum of Brussels
Science Museum of Brussels

Si les os d’Ishingo convoitent le titre d’objets arithmétiques les plus anciens, à quoi, diable, pouvaient-ils servir ? Les hypothèses sont nombreuses et évoluent avec le temps. Calendrier lunaire, dans les années 70 ou tout premier instrument de calcul, thèse datant d’une dizaine d’année. On a même identifié sur l’un des os une suite des nombres premiers compris entre 10 et 20.

L’hypothèse de règle à calcul et de table de conversion utilisant conjointement les bases 10 et 12 tient aujourd’hui la corde. D’autant que les systèmes de calcul en base 12 sont encore utilisés dans certaines régions d’Afrique. Bref, les experts ont encore un os à ronger avant d’en tirer des conclusions fiables.

Le premier calcul digital

En remontant quelques milliers d’années auparavant, on pourrait dire, d’une manière grossièrement imagée que l’os à calcul était alors entouré de chair. C’était le doigt. Oui, il y a 29 000 ans (27 000 avant notre ère), l’homme du paléolithique « calculait » probablement déjà sur ses doigts.

Cette théorie n’est pas faite au doigt mouillé, si l’on peut dire, mais relève d’une étude très sérieuse. Celle-ci se fonde sur l’analyse combinatoire de 49 mains représentées dans la grotte Cosquer[1]. Bien que controversées, cette étude concluent, qu’au regard du faible nombre de combinaisons de doigts utilisés sur les fresques (5 sur 32 possibles), il peut s’agir d’une méthode de calcul.

Quoi qu’il en soit, beaucoup de spécialistes comme Georges Ifrah[2] estime que la main, avec ses doigts, est la toute première machine à calculer.

La bosse des maths

Les os d’Ishango témoignent au moins d’une chose : la capacité cognitive des hommes de l’époque était très élevée. Mieux, elle l’était déjà, il y a près de100 000 ans. C’est ce qu’indiquent les récentes découvertes [3] qui mettent en scène des objets de parure façonnés sur des coquillages. Ils prouvent là encore la capacité de manier des symboles. Équipés d’un cerveau, doté de la bosse des maths, nos ancêtres, les premiers homo sapiens, calculaient probablement d’une manière intuitive, sans se poser de problème, comme le célèbre M. Jourdain dans une discipline plus littéraire.

Le calcul assisté

S’il y a bien une aventure humaine collective, c’est celle de l’invention des nombres et des mathématiques et, ensuite de sa boite à outils. Comme on vient de le voir, le maniement des symboles et des chiffres est probablement intrinsèque à la nature humaine. Ce qui explique son caractère intuitif.

Mais le calcul mental a dû trouver rapidement ses limites d’où le recours à des moyens pour faciliter sa mémorisation ou son traitement. Les doigts, les os, les tablettes, les calculettes….

C’est justement avec les tablettes que commence officiellement l’histoire des mathématiques. On les appelle les tablettes d’Uruk. Elles proviennent de Mésopotamie et remontent au quatrième millénaire avant notre ère Sur ces tablettes d’argile retrouvées près de Bagdad sont consignés les tout premiers registres de comptes de l’histoire. Ces premières pratiques comptables notifiaient des données utilitaires (sacs de blé, têtes de bétail…). Elles signent les premières utilisations de nombres et ceci dans un but commercial.

Tout comptes faits

Il apparaît nécessaire de dissocier la pratique intuitive et ancestrale des mathématiques, d’une utilisation instrumentalisée en vue de quantifier et d’ordonner pour un objectif précis.

Et si le sens des nombres remonte donc à la nuit des temps, c’est que cette disposition serait encodée dans notre cerveau (et dans celui des animaux), indépendamment de toute forme d’apprentissage.

Reste à résoudre un autre problème : les mathématiques sont-elles une création de notre esprit ou bien ont-elles une existence indépendante, voire, l’essence du monde est-elle de nature mathématique ?
Cette fois, nous quittons la rive abrupte des mathématiques pour atteindre celle embrumée de la métaphysique. E là, comme l’évoquait le philosophe et écrivain Robert Pirsig [4], c’est comme si nous étions dans un restaurant qui propose un menu de 30 000 pages et rien à manger. Heureusement, il nous reste un os à ronger !

Principales étapes à retenir

  • – 22 000 ans (avant notre ère) : entailles sur les os ayant probablement un caractère « mathématique » ;
  • – 7 000 ans : premières tables à calcul, les « Abaques » en Mésopotamie ;
  • – 6 000 ans : petits jetons d’argile servant à calculer ;
  • - 3 350 : tablettes d’Uruk, premiers registres de calculs écrits ;
  • - 3000 : L’Egypte développe une numération sous forme de hiéroglyphe ;
  • - 2700 : Apparition des chiffres cunéiformes sumériens ;
  • – 1300 : la Chine développe son système de numération ;
  • Entre IVe et Ve siècle : numération de position indienne ;
  • Entre le Ve et IXe siècle : Numération de position maya ;
  • XII ème siècle : invention du boulier en Chine ;
  • Entre le XIIe et XVe siècle : Les chiffres arabes se stabilisent ;
  • 1617 : les bâtons de Neper, bâtons mobiles facilitant  la multiplication ;
  • 1620 : perfectionnement du système par Gunter qui en fait la première règle à calcul ;
  • Vers 1650 : la Pascaline offre un embryon de programmation de règles opératoires ;
  • 1694 : Leibniz expose la première calculatrice capable de réaliser toutes les opérations arithmétiques élémentaires ;
  • 1820 : apparition des machines à calculer « à la portée de tous » ;
  • 1880 : machine à calculer numérique fait son apparition dans l’administration américaine ;
  • 1945 : L’ENIAC, première machine à calculer conçue pour calculer les trajectoires de tir ;
  • 1946 : début des travaux du premier ordinateur doté d’une mémoire interne, le Manchester Mark 1 ;
  • 1972 : mise au point de la première calculatrice de poche ;
  • 1976 : commercialisation du premier supercalculateur, le Cray 1 ;
Mis à jour le 29 septembre 2009

1 – Théorie publiée en 2006 par André Rouillon dans la revue Anthropology.
2- Histoire universelle des chiffres .
3 – Coquillages percés exhumés en Afrique du sud (-75 000 ans) et d’autres encore plus anciens provenant d’Algérie (-90 000 ans) ou d’Israël (100 000 ans), témoignant d’une capacité d’abstraction et de maniement de symboles.
4 – Robert Pirsig a publié en 1974 le célèbre Traité du zen et de l’entretien des motocyclettes.


A consulter pour mieux comprendre :


A voir ou à lire :