jeudi, 30 mars 2017

Les toutes, toutes premières fois

Comment tout (ou presque) a commencé !

La toute première fois où l’on dépasse les bornes des limites

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Posté par fabrice
 


1883

On n’en a pas fini avec les infinis

 

 Si l’infini peut paraître long, surtout sur la fin, pour paraphraser Woody Allen évoquant l’éternité, c’est, avant tout, sa compréhension qui fut longue à germer dans les esprits.

Georg Cantor

Georg Cantor

Une vision subversive pour l’époque

En réalité, cette notion d’infini a trouvé difficilement sa place, du moins d’un point de vue mathématique. Longtemps, elle est restée le terrain de jeu de bons nombres d’adeptes des paradoxes. Il faudra en effet attendre Georg Cantor, dans les années 1880, pour disposer d’une réponse mathématique opérationnelle et  rationnelle à un concept qui, jusqu’alors, relevait du divin ou de la philosophie.

On a du mal à imaginer aujourd’hui à quel point cette approche nouvelle de l’infini pouvait paraître aux yeux mêmes des plus grands mathématiciens de l’époque comme une  folle exploration. C’était même pour certains, carrément une hérésie . Poincaré,  l’un des plus grands mathématiciens de tous les temps, écrira « Les idées de Cantor sont une grave maladie qui infectent les mathématiques » (1).  

Un infini, hors de portée

« Toute grande passion débouche sur l’Infini » Michel Houellebecq

Jusqu’ici, à la question « qu’y a-t-il au-delà des limites (ou après) », on relevait une infinité de réponses.  Chacune de ces questions correspondant à une vision sans véritable fondement mais dotée d’un point commun : elles considéraient l’infini comme quelque chose d’inatteignable voire d’inimaginable. Même si mathématiquement parlant on admettait l’existence de grandeurs en perpétuel accroissement, sans véritable limite. Un infini potentiel mais hors de portée rationnelle.

Quantifier l’inquantifiable

Cantor, lui va quantifier « l’inquantifiable » grâce, notamment, à ses nombres transfinis. Ces nombres vont lui permettre de quantifier l’infini et de réaliser des calculs dessus comme la comparaison entre différents ensembles d’infinis. Pour la toute première fois l’infini endosse l’habit du monde réel et délaisse celui du sacré. Désormais, il devient à la portée de l’esprit humain car calculable.

Aujourd’hui, cela semble aller de soi. Toutefois,  la révélation d’un infini accessible aux règles rationnelles des mathématiques représente un saut conceptuel presque aussi important que la découverte du zéro. Cette comparaison avec le zéro n’est pas anodine car tous deux ont été longtemps niés, considérés comme inappropriés au mode réel ; tous deux sont également liés car en divisant le fini par zéro, on obtient l’infini. Tout est bien qui finit bien !

Sans aucun doute, l’infini recèle une part de mystères qui a dérangé longtemps bons nombres d’esprits surtout les plus cartésiens. Au point que Descartes ne pouvait admettre que l’esprit humain fût capable de concevoir autre chose que des choses finies.

L’éviction de l’infini…

Bien avant lui, les grecs de l’Antiquité avaient contourné le problème de l’infini par un concept négatif baptisé l’éviction : le non fini, dans le sens incomplet ou inachevé. D’ailleurs, Aristote évoque un infini potentiel au sens utopique et inaccessible au commun des mortels. Auparavant, Zénon d’Elée soumet les premiers paradoxes de l’infini dont la célèbre flèche qui n’atteint jamais sa cible car la distance totale est fractionnée de manière infinie (la moitié, puis le quart, le 8ème…).

Dans l’infini, il y a du grand et du petit !

Le concept positif arrivera sur le tard, au Moyen Age. Il repose sur une logique métaphysique où l’accès à l’infini est une prérogative de Dieu et de lui seul. Dans le même esprit, Blaise Pascal (1623-1662) écrira, à propos de l’infiniment grand et de l’infiniment petit : « …ces extrémités se touchent et se réunissent à force de s’être éloignées et retrouvent en Dieu et en Dieu seulement ». La messe est dite.

Hérité d’un symbole romain désignant 1000, le symbole de l’infini sera introduit pour la première fois par John Wallis en 1665. Cantor, lui, utilisera un autre symbole qui se lit « aleph ».  Il va le décliner selon des catégories (infini des nombres entiers, infini des points…). Autrement dit pour Cantor, il existe plusieurs infinis (voir encarté), pouvant être comparé entre eux grâce aux nombres transfinis. Cette diversité de l’infini ne plaira pas car elle remet en question l’infini unique et divin.

L’infini : une histoire à dormir debout

Alors, en définitive, l’infini est–il une notion à dormir debout ? Je vous laisse juge avec ce paradoxe de l’hôtel infini que proposa le célébre mathématicien  David Hilbert (2), au début du siècle dernier :
Observons un hôtel qui comprend une infinité de chambres. Toutes les chambres sont occupées. Arrive une infinité de nouveaux clients. Comment faire pour tous les loger puisque l’hôtel est déjà complet ?
Simple : il suffit de déplacer les anciens occupants en leur donnant que les chambres paires. Ainsi le client de la chambre 1 passe dans la chambre 2, celui de la chambre 2 passe dans la chambre 4, celui de la chambre 3 dans la chambre 6 et ainsi de suite (souvenons-nous que le nombre de chambre est illimité).
Quant aux nouveaux clients, on leur attribue les chambres impaires qui sont en nombre illimité et qui viennent d’être libérées.

Reste une question en suspens, quel fut le numéro de la chambre de Georg Cantor lorsqu’il sombra dans la folie ?

Pour finir -si j’ose dire-, laissons conclure Hilbert : « Personne ne nous chassera du paradis que Cantor a créé pour nous »(3).


 Les trois « types » d’infini définis par Georg Cantor

  • L’infini potentiel ou infini dynamique : il désigne une progression infinie qui n’a jamais de fin. Les nombres entiers en sont un exemple : il est toujours possible d’un ajouter un à la liste;
  • L’infini actuel :  il s’agit d’un ensemble dont tous les éléments existent simultanément; cela forme une « totalité achevée » (3). C’est à propos de cet infini que Cantor inventera le terme de « transfini »;
  • L’infini absolu : il s’agit de l’ensemble infini de tous les ensembles; cet infini se situe au-delà de tout. C’est donc le concept le plus sensible qui touche à la métaphysique. « La pensée de Dieu », selon Cantor.

 Les surprises de l’infini

  • Il ne faut pas se fier à notre impression :  les nombres entiers (1,2,3,4,5, …) ne sont pas plus nombreux que les nombres pairs (2,4,6,8…), alors qu’on les imaginent deux fois plus nombreux. Il n’en est rien ;
  • Les nombres réels, c’est à dire les nombres entiers, les nombres rationnels (1/2, 2/4…) et irrationels (racines carrées…), sont beaucoup plus nombreux que les nombres entiers naturels;
  • Il existe autant de points sur un segment de droite d’1 cm que sur une droite de plusieurs millions de km; plus surprenant encore, il y a autant de points dans une petite bille que dans une sphère de la taille de l’univers.
  • Hilbert, encore lui, affirmera en juin 1925 (3), lors d’un congrès organisé par la Société mathématique de Westphalie : « Notre principal résultat est que l’infini n’existe nulle part dans la réalité. Il n’existe ni dans la nature ni comme base de la pensée rationnelle (4) ». Cela sous-tend l’idée qu’aucune réalité physique dans l’Univers n’est éternel.  

1- http://en.wikipedia.org.wiki/georg_cantor
2 – David Hilbert, l’une des célébrités de l’école de Göttinguen, l’école de mathématiques la plus renommée au monde au début du XX ème siècle, où passeront Poincaré, Einstien, Planck, Heinsenberg, Born et bien d’autres.
3- La pensée de Dieu – Igor et Grichka Bogdanov – Ed. Grasset – 2012
4- On the Infinite, David Hilbert, in mathemathische annalen, Vol 95 – 1926 


 A visionner pour mieux comprendre (en anglais avec sous-titres automatiques en français) :


A voir et à lire pour aller plus loin :

  • Une Brève Histoire de l’Infini de John Barrow. Vivante et passionnante, voici la première histoire de l infini à travers les âges et à travers les divers domaines de la pensée et de la science.
  • et une illustration du concept d’infini, attribuée à Albert Einstein : « Deux choses sont infinies : l’Univers et la bêtise humaine. Mais en ce qui concerne l’Univers, je n’en ai pas encore acquis la certitude absolue. »
  • La pensée de Dieu de Igor et Grichka Bogdanov – Edition Grasset



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